THEOREME DE BAYES

(Dr J-M BRIDERON le 20/4/00 : jmbr@wanadoo.fr)


1) DEFINITIONS

P = prévalence

Ss = sensibilité (fréquence des vrais malades dépistée en cas de test positif)

Sp = spécificité (fréquence des vrais patients sains en cas de test négatif)

VPP = valeur prédictive positive

L = likelihood ratio ou facteur de vraisemblance = taux de vrais + / taux de faux +

FC = facteur de concentration

2) EQUATION DE BAYES

 

a
(P x Ss)

VPP =


a
(P x Ss) + [(1-P) x (1-Sp)]

3) SIMPLIFICATION

"L" est le rapport entre la fréquence des vrais malades (sensibilité) qui ont un test positif et celle des non-malades qui ont également un test positif (faux positifs ou 1-Sp) :

a
Ss

L =


a
(1 - Sp)

Si on divise les deux membres de l'équation de BAYES par (1-Sp) sachant que L est égal à Ss/1-Sp on obtient une formule simplifiée :

a
(P x L)

VPP =


a
P x (L - 1) + 1

Cette formule est plus simple à démontrer qu'à écrire.

En cas de prévalence initiale très faible elle peut même se simplifier encore plus (cf plus bas) et donner :

VPP =

P x L

4) INTERETS

Cette présentation des données fournies par les tests cliniques et complémentaires est très intéressante à plus d'un titre et est souvent connue sous l'expression "raisonnement bayesien".

a) répond à la seule question qui intéresse un clinicien (et un patient) :

"mon test est positif, quelle probabilité j'ai d'être réellement malade ?".

Réponse : c'est la valeur prédictive positive

 


b) conceptualise la notion fondamentale de variation de la valeur prédictive avec la prévalence initiale de la maladie dans la population étudiée.

Plus la prévalence initiale est faible est plus la valeur prédictive positive d'un test sera faible.

Et lycée de Versailles comme dirait notre ami Bérurier-like, le Dr Cristalli.

c) quantifie l'effet de concentration d'un test en établissant le rapport (facteur de concentration ou FC) entre la prévalence finale post-test et la prévalence initiale pré-test :

a
VPP

Facteur de concentration (FC)=


a
P

Prévalence initiale basse -> facteur de concentration -> prévalence finale haute

 


d) permet de vérifier que dans le cas où les prévalences initiales sont très faibles (T21 par exemple) ce facteur de concentration est assimilable au rapport de vraisemblance ou likelihood ratio :

a
(P x L)

VPP =


a
P x (L - 1) + 1

En divisant les deux membres de l'égalité par "P" on obtient :

VPP a
L



aP
P x (L - 1) + 1

Pour "P" proche de zéro la formule se simplifie :

VPP a
a


= L
aP
a

En résumant : le facteur de concentration "FC" est quasiment identique au likelihood ratio "L" :

a
VPP

FC ou Likelihood ratio ou L =


a
P

Ce qui donnera :

VPP =

P x likelihood ratio

Les likelihood ratio sont des variables fournies aisément par les tests de dépistage puisqu'égaux aux sensibilités divisées par les taux de faux positifs : Ss/1-Sp


e) si le test de dépistage fournit ces likelihood ratios, le raisonnement bayesien permettra de calculer la valeur prédictive positive à partir de la prévalence initiale.

Puisque on a :

VPP =

prévalence initiale x likelihood ratio

 


f) autorisera l'exploitation séquentielle de plusieurs tests de dépistage entre eux pour en améliorer l'effet de concentration en prenant pour prévalence initiale la valeur prédictive positive du test précédent.

Prévalence initiale x FC du test 1 = valeur prédictive du test 1

Valeur prédictive du test 1 x FC test 2 = valeur prédictive test 2 ou prévalence finale

Ce qui donne par simplification algébrique :

Prévalence initiale x FC du test 1 x FC du test 2 = prévalence finale

C'est la technique utilisée pour le double ou le triple-test sérologique avec le risque donné par l'âge maternel comme prévalence initiale associé au facteur de vraisemblance (ou likelihood ratio, assimilable au facteur de concentration dans ces cas de faible prévalence initiale) de l'HCG, AFP et E3 libre.

C'est le principe que moi-même et d'autres tentons d'appliquer avec nos formules d'intégration du risque de la clarté nucale à celui donné par la sérologie.

Prévalence initiale x FC clarté nucale x FC sérologie = prévalence ou risque final

5) CONCLUSION

La connaissance de base de ce raisonnement bayesien et de ses applications sont essentielles en médecine de spécialité.

En effet, le théorême de BAYES :

1) met en évidence l'importance essentielle de la prévalence initiale de la maladie dans la population étudiée si on veut pouvoir estimer l'apport informatif de n'importe quel signe clinique ou test complémentaire.

2) est à la base du dépistage des dyskaryotypies aussi bien par la clarté nucale que par la sérologie.

 


Un peu de pub perso pour mieux appréhender l'utilisation des facteurs de vraisemblance avec la clarté nucale :

http://perso.wanadoo.fr/doc-gyneco/CN/CN.html